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Zeno of Elea

Date de naissance:

Endroit de naissance:

Date de la mort:

Endroit de la mort:

about 490 BC

Elea, Lucania (now southern Italy)

about 425 BC

Elea, Lucania (now southern Italy)

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Très peu est connu de la vie de Zénon d'Elea. Nous savons qu'il était un philosophe, et il aurait été le fils de Teleutagoras. La principale source de notre connaissance de Zeno vient de Parménide le dialogue écrit par Platon.

Zeno a été l'élève et ami du philosophe Parménide et a étudié avec lui à Elea. Le Eleatic School, un des principaux pré-socratique écoles de la philosophie grecque, a été fondée par Parménide dans Elea dans le sud de l'Italie. Sa philosophie de monisme a fait valoir que les nombreuses choses qui semblent exister sont simplement une seule réalité éternelle qui il a appelé l'Être. Son principe est que «tout est un" et que le changement ou le non-être sont impossibles. Certes, Zeno a été largement influencée par les arguments de Parménide et Platon nous dit que les deux philosophes ont visité Athènes en 450 avant JC environ.

En dépit de Platon 's description de la visite de Parménide et Zénon à Athènes, il est loin d'être universellement accepté que la visite a bien eu lieu. Toutefois, Platon nous dit que Socrates, qui était alors jeune, a rencontré Parménide et Zénon de leur visite à Athènes et discuté philosophie avec eux. Étant donné les meilleures estimations des dates de naissance de ces trois philosophes, Socrate serait de l'ordre de 20, Zeno sur 40, Parménide et près de 65 ans à l'époque, Platon afin de l 'affirmation est certainement possible.

Zeno avait déjà écrit un ouvrage sur la philosophie avant sa visite à Athènes et Platon rapports que le livre de Zeno signifie qu'il a atteint une certaine notoriété à Athènes avant sa visite. Malheureusement pas de travail par Zeno a survécu, mais il ya très peu de preuves pour suggérer qu'il a écrit plus d'un livre. Le livre Zeno a écrit avant sa visite à Athènes a été son célèbre ouvrage qui, selon Proclus, qui figure quarante paradoxes concernant le continuum. Quatre des paradoxes, que nous allons discuter en détail ci-dessous, devaient avoir une profonde influence sur le développement des mathématiques.

Diogène Laërce donne de plus amples détails sur la vie de Zeno, qui sont généralement pas fiables. Zeno retourné à Elea après la visite à Athènes et Diogène Laërce affirme qu'il a rencontré sa mort dans une tentative héroïque pour éliminer un tyran de la ville de Elea. Les histoires de ses actes héroïques et de torture aux mains du tyran mai bien être des inventions pures. Diogène Laërce également écrit à propos de Zénon cosmologie et là encore, il n'existe pas de pièces justificatives sur cela, mais nous allons donner quelques indications ci-après des détails.

Zeno le livre de quarante paradoxes était, selon Platon:

... un jeune effort, et ils ont été dérobés par une personne, de sorte que l'auteur n'a pas eu l'occasion d'examiner l'opportunité de publier ou non. Son objet était de défendre le système de Parménide en attaquant les conceptions communes des choses.

Proclus également décrit les travaux et confirme que:

... Zeno quarante élaboré suivant différents paradoxes de l'hypothèse de la pluralité et de mouvement, chacun d'entre eux apparemment fondée sur les difficultés découlant de l'analyse du continuum.

Dans ses arguments contre l'idée que le monde contient plus d'une chose, Zeno ses dérivés paradoxes de l'hypothèse que, si une ampleur peut être divisé, il peut être divisé infiniment souvent. Zeno suppose également que une chose qui n'a pas d'ampleur ne peut exister. Simplicius, le dernier chef de l'Académie de Platon à Athènes, en conserve de nombreux fragments des anciens auteurs tels que Parménide et Zénon. Dans un article publié dans la première moitié du VIe siècle Zeno at-il expliqué pourquoi l'argument de quelque chose sans importance ne pourrait pas exister:

En effet, si il est ajouté à autre chose, il n'y parviendront pas plus grand, et si elle est soustraite, il n'y parviendront pas plus petit. Mais si elle ne fait pas une chose plus grande lorsqu'il est ajouté à celui-ci ni moins étendus quand soustrait de celle-ci, il semble évident que ce qui a été ajouté ou soustrait n'est rien.

Bien que l'argument de Zénon n'est pas totalement convaincante à tout le moins, comme Makin écrit:

Zénon défi pour le pluralisme simple est couronnée de succès, du fait qu'il a des forces anti-Parmenideans d'aller au-delà du bon sens.

Les paradoxes que Zeno a donné en ce qui concerne mouvement sont plus perplexe. Aristote, dans son travail physique, donne quatre arguments de Zeno, la dichotomie, Achille, la flèche, et le stade. Pour la dichotomie, Aristote décrit l'argument de Zeno (Heath 's traduction):

Il n'ya pas de résolution parce que celui qui est déplacé doit arriver au milieu de son parcours avant son arrivée à la fin.

Pour la Traverse un segment de ligne, il est nécessaire pour atteindre son point central. Pour ce faire, doivent parvenir à un 1 / 4 de point, pour ce faire, il faut atteindre les 1 / 8 point et ainsi de suite ad infinitum. Par conséquent motion peut jamais commencer. L'argument ici n'est pas répondu par la célèbre somme infinie

1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + ... = 1

D'une part Zeno peut faire valoir que la somme 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + ... jamais atteint 1, mais plus perplexe à l'esprit humain est la somme des tentatives de 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + ... vers l'arrière. Avant de traverser une unité de distance que nous devons faire au milieu, mais avant d'arriver au milieu, nous devons obtenir 1 / 4 de la voie, mais avant, nous obtenons 1 / 4 de la façon dont nous devons parvenir à 1 / 8 de la manière etc argument nous fait réaliser que nous ne pourrons jamais obtenir commencé, car nous essayons de mettre en place cette somme infinie de la "mauvaise" fin. En effet il s'agit d'un argument habile qui casse-tête encore l'esprit humain d'aujourd'hui.

Zeno deux bases de la dichotomie paradoxe et l'attaque sur simple pluralisme sur le fait que, une fois une chose est divisible, il est infiniment divisible. On pourrait contrer ses paradoxes en postulant une théorie atomique en question qui était composé de nombreux petits éléments indissociables. Toutefois, d'autres paradoxes donnée par Zeno causer des problèmes parce que précisément dans ces cas, il estime que l'ampleur apparemment continu sont constituées de qu'éléments indivisibles. Un tel paradoxe est «The Arrow» et encore, nous donner Aristote 's description de l'argument de Zeno (Heath' s traduction):

Si, dit-Zénon, tout est soit au repos ou en mouvement quand il occupe un espace égal à lui-même, alors que l'objet est déplacé dans l'instant, la flèche est en mouvement insensible.

L'argument repose sur le fait que si, dans un instant indivisible de la flèche du temps passé, en effet, cet instant de temps serait divisible (par exemple dans un plus petit 'instantané' de temps la flèche aurait déplacé la moitié de la distance). Aristote fait valoir contre le paradoxe en affirmant:

... pour le temps n'est pas composé d'indivisible "nows", pas plus que ce qui est tout autre ampleur.

Toutefois, cela est considéré par certains comme étant sans pertinence à l'argument de Zénon. Plus de nier que 'maintenant' existe comme un instantané qui divise le passé de l'avenir semble également aller à l'encontre de l'intuition. Bien sûr, si l'instant "maintenant" n'existe pas, la flèche jamais occupe toute position particulière et cela ne semble pas droit non plus. Zeno a de nouveau présenté un profond problème qui, malgré des siècles d'efforts pour le résoudre, semble encore d'un manque véritablement une solution satisfaisante. Comme écrit dans Frankel:

L'esprit humain, en essayant de se donner un compte rendu exact de la motion, se trouve confronté à deux aspects de ce phénomène. Les deux sont inévitables, mais en même temps, elles sont mutuellement exclusives. Soit on se penche sur les flux continu de mouvement, puis il sera impossible pour nous de penser à l'objet dans la position particulière. Ou nous pensons de l'objet tout comme occupant des positions par le biais de son cours qui les mène, et tout en fixant notre pensée sur cette position que nous ne peux m'empêcher de fixer l'objet lui-même et le mettre au repos pour un court instant.

Vlastos (voir l'encadré) fait observer que, si nous utilisons la norme formule mathématique permettant de calculer la vitesse nous ont v = s / t,s est la distance parcourue et t est le temps nécessaire. Si l'on regarde la vitesse à un instant nous obtenons v = 0 / 0, qui n'a pas de sens. Il est donc juste de dire que Zeno ici est de souligner une difficulté qui ne serait pas abordé jusqu'à leur limite et le calcul différentiel ont été étudiés et mis sur un bon pied.

Comme on peut le constater dans la discussion ci-dessus, Zeno's paradoxes sont importantes pour l'élaboration de la notion de infinitesimals. En fait, certains auteurs affirment que Zeno a réalisé son paradoxes contre ceux qui introduisent infinitesimals. Anaxagore et les disciples de Pythagore, avec le développement de leurs incommensurables, sont également estimé par certains à être la cible des arguments de Zénon (voir, par exemple). Certes, il semble peu probable que la raison donnée par Platon, à savoir défendre Parménide "position philosophique, est l'ensemble explication des raisons pour lesquelles Zeno a écrit son célèbre ouvrage sur les paradoxes.

Le plus célèbre des arguments de Zeno est sans aucun doute l'Achille. Heath 's traduction d'Aristote' s physique est:

... le ralentissement lors de l'exécution ne sera jamais dépassé par la rapide, pour celui qui poursuit doit d'abord atteindre le point à partir duquel celui qui fuit commencé, de sorte que le plus lent doit nécessairement être toujours une certaine distance à venir.

La plupart des auteurs, à commencer par Aristote, voir ce paradoxe, pour l'essentiel la même que la dichotomie. Par exemple Makin écrit:

... aussi longtemps que la dichotomie peut être résolu, l'Achille peut être résolu. Les résolutions seront parallèle.

Comme pour la plupart des déclarations à propos de Zeno's paradoxes, il n'existe pas d'accord sur une position particulière. Par exemple Toth conteste la similitude des deux paradoxes, Aristote affirmant que l 'observations laissent beaucoup à désirer et suggère que les deux arguments ont entièrement différentes structures.

Les deux Platon et d'Aristote ne pas apprécier pleinement l'importance de Zénon arguments. Comme Heath dit:

Aristote appelés «erreurs», sans être en mesure de les réfuter.

Russell n'a certainement pas sous-estimer l'importance Zénon quand il a écrit:

Dans ce monde fantaisiste, rien n'est plus capricieux que la célébrité posthume. L'une des plus importantes victimes de la postérité l'absence de jugement est la Eleatic Zeno. Ayant inventé tous les quatre arguments infiniment subtile et profonde, le grossness la suite de philosophes prononcé à être un simple jongleur ingénieux, et ses arguments à tous et à chacun des sophismes. Après deux mille ans, continue de réfutation, ces sophismes ont été réintégrés, et a fait le fondement d'une renaissance de mathématiques ....

Russell est ici pensée des travaux de Cantor, Frege et lui-même sur l'infini et en particulier de Weierstrass sur le calcul. Dans la relation des paradoxes à l'enseignement des mathématiques est également discuté, et l'auteur arrive à une conclusion similaire à Frankel dans la citation ci-dessus:

Bien qu'ils aient souvent été rejeté comme non-sens logique, de nombreuses tentatives ont également été apportées à disposer d'eux par le biais de théorèmes mathématiques, telles que la théorie de la convergence des séries ou la théorie des ensembles. En fin de compte, toutefois, les difficultés inhérentes à ses arguments ont toujours revenir avec une vengeance, pour l'esprit humain est construit de manière qu'il puisse regarder un continuum de deux manières qui ne sont pas tout à fait conciliables.

Il est difficile de dire précisément quel effet les paradoxes de Zénon sur le développement des mathématiques grecques. BL van der Waerden (voir l'encadré) fait valoir que les théories mathématiques qui ont été élaborés dans la seconde moitié du cinquième siècle avant Jésus-Christ que Zénon de travail a peu d'influence. Heath semble toutefois de détecter une plus grande influence:

Mathématiciens, cependant, ... se rendre compte que les arguments de Zénon ont été fatals à infinitesimals, vu qu'ils ne pouvaient éviter les difficultés qui y sont attachées par une fois pour toutes bannir l'idée de l'infini, même potentiellement infini, dans l'ensemble de leur science, devenue depuis lors, par conséquent, ils pas fait usage de grandeur augmentant ou en diminuant l'infini, mais se contente d'ampleur limitée qui peut être fait aussi grand ou aussi petit que nous s’il vous plaît.

Nous avons commenté plus haut que Diogène Laërce décrit dans une cosmologie estime qu'il est dû à Zeno. Selon sa description, Zeno proposé un univers composé de plusieurs mondes, composé de "chaud" et "froid" sec "et" humide ", mais pas nulle ou espace vide. Parce que cela semble avoir rien de commun avec ses paradoxes, il il est d'usage de prendre la ligne que Diogène Laërce est dans l'erreur. Toutefois, il semble que ce type de croyance était d'environ au cinquième siècle avant Jésus-Christ, en particulier liés à la théorie médicale, et il aurait pu facilement être Zeno la version d'une croyance qui s'est tenue Eleatic par l'école.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland