Mathématiciens

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Efim I Zelmanov

Date de naissance:

Endroit de naissance:

Date de la mort:

Endroit de la mort:

7 Sept 1955

USSR

Présentation Wikipedia
ATTENTION - traduction automatique de la version anglaise

Efim Zelmanov assisté à l'Université d'Etat de Novossibirsk, d'obtenir sa maîtrise en 1977. À l'attribution de ce diplôme, il a été nommé au personnel de l'Université d'Etat de Novossibirsk et l'enseignement de tout en poursuivant ses propres recherches. Il a reçu son doctorat de l'Université d'Etat de Novossibirsk, en 1980, ayant eu ses recherches sous la direction de Shirshov et Bokut.

Le mémoire qu'il a présenté pour son doctorat nonassociative sur l'algèbre. En particulier, son travail a changé complètement l'ensemble du sujet de la Jordanie algebras par l'extension de résultats de la théorie classique de dimensions finies Jordanie algèbres de dimension infinie Jordanie algebras. Zelmanov décrit ce travail sur les algèbres de Jordanie a invité dans son discours au Congrès international des mathématiciens à Varsovie en 1983.

En 1980 Zelmanov a été nommé comme un jeune chercheur à l'Institut de Mathématiques de l'URSS Académie des sciences de Novossibirsk. Sur l'attribution de son doctorat (Habilitation) en 1985, il a été promu au chercheur principal. Il a été promu à nouveau à l'Institut de Mathématiques de l'URSS Académie des Sciences en 1986, cette fois de devenir un chercheur principal.

En 1987 Zelmanov résolu une des grandes questions en suspens dans la théorie des algèbres de Lie. Il a prouvé que les Engel identité

annonce (y) n = 0

implique que l'algèbre est nécessairement nilpotent. Il s'agit d'un résultat classique de dimensions finies Lie algebras mais Zelmanov résolu un grand problème ouvert quand il a prouvé que le résultat tenus à l'infini-dimensionnel Lie algebras.

En 1990 Zelmanov a été nommé professeur à l'Université du Wisconsin-Madison aux États-Unis. Il a occupé ce poste jusqu'en 1994, date à laquelle il a été nommé à l'Université de Chicago. En 1995, il a passé l'année à l'Université de Yale.

Les résultats mentionnés ci-dessus sur la Jordanie et algèbres de Lie algebras aurait garanti Zelmanov un lieu comme l'un des grands algebraists du 20 e siècle. Toutefois, en 1991, a Zelmanov de régler un des résultats les plus fondamentaux de la théorie des groupes qui ont occupé les théoriciens groupe tout au long de la 20 e siècle. Il a résolu le problème de Burnside restreint.

En 1994 Zelmanov a reçu une Médaille Fields pour ce travail lors du Congrès international des mathématiciens à Zurich en 1994. Permettez-moi d'expliquer l'historique de la Burnside restreint problème dont la solution était la principale raison pour l'attribution de la médaille, et également expliquer comment Zelmanov, pas un groupe théoricien de formation, est venu à résoudre une des questions fondamentales posées dans le groupe théorie.

En 1902, Burnside d'abord demandé si un groupe finiment engendré dans lequel chaque élément a ordre fini, est fini. Ce problème est connu sous le nom général Burnside problème. Le problème de Burnside demande si, pour d fixe et n, le groupe B (d, n) d avoir générateurs et dans lequel chaque élément satisfait x n = 1, est fini. Il est vraiment facile de montrer le B (d, 2) est fini. Burnside lui-même a montré que B (d, 3) est fini, Sanov montré B (d, 4) est fini et Marshall Hall a montré B (d, 6) est fini.

Dans les années 1930 pas de véritable progrès ont été réalisés sur l'un de ces problèmes et que le problème de Burnside restreint a été élaboré (et donc nommé par Magnus). Il demande si, pour d fixe et N, il est un plus grand générateur d finis groupe dans lequel chaque élément satisfait x n = 1. Cela revient à dire que une solution positive au problème de Burnside restreint montrerait qu'il n'ya que finiment de nombreux groupes finis facteur de B (d, n).

Le général Burnside problème est d'avoir montré une solution par la négative Golod en 1964. En 1968, Novikov et Adian montré que le problème de Burnside est faux pour les grandes n. La plus grande contribution au début de la Restreint Burnside problème a été par Hall et Higman en 1956 où ils ont montré que, si la conjecture est titulaire d'Schreier, le problème de Burnside restreint a une solution positive si elle pouvait être prouvée pour tous les pouvoirs n premier. La conjecture Schreier, que le montant extérieur automorphismes de groupes finis simples groupes sont solubles, s'est révélée comme un véritable conséquence de la classification des groupes simples finis.

Magnus a réduit le cas du problème de Burnside restreint pour n premier avec la question de savoir si algèbres de Lie satisfaisant une condition Engel sont localement nilpotent. Kostrikin, en 1959, a prouvé que de telles algèbres de Lie sont en effet localement nilpotent. Toutefois Kostrikin la preuve n'est pas entièrement satisfaisante et une version corrigée n'est apparue que bien plus tard.

Lorsque Zelmanov ont commencé à travailler sur le problème de Burnside restreint il y avait deux grandes difficultés à faire ce qui avait été réalisé pour n = p n = p k. Tout d'abord, il n'y avait pas de réduction du problème à Lie algebras avec la condition Engel, Cette Zelmanov atteint en 1989.

Zelmanov prochaine série prouver que sur une algèbre de Lie avec une Engel condition est localement nilpotent. Il l'a obtenu sous forme de deux documents, le premier traitant avec étrange caractéristique principale et la seconde traitant avec n = p k qui correspond à algèbres de Lie de caractéristique 2. Shalev écrit:

Son magnifique preuve ... combine une incroyable capacité technique, avec des idées originales de différentes disciplines. La preuve utilise une structure profonde de la théorie (quadratique) Jordan algebras, précédemment développé par McCrimmon et Zelmanov, ainsi que les pouvoirs divisés et d'autres outils, il s'appuie également sur le travail conjoint de Kostrikin et Zelmanov, qui établit les locaux nilpotency de ce que l'on - algebras appelé sandwich. Alors que Lie algebras ont longtemps été considéré comme un terrain de jeux naturel dans le contexte du problème de Burnside restreint, l'apparition de la Jordanie algèbres est sans précédent et tout à fait surprenant.

Pour les groupes St-Andrews conférence à Galway, en Irlande en 1993, dont je [EFR] est une co-organisateur, Zelmanov était un des principaux orateurs et il a donné une série de cinq conférences sur Nil anneaux méthodes de la théorie des groupes nilpotent . Ses conférences ont été magnifiquement construits, des modèles de clarté, montrant ce qui avait été réalisé et la présentation de nombreux aperçus des orientations possibles de recherches futures. Rempli d'humour, ils ont tous été livré avec la Zelmanov infectieuses étincelle dans ses yeux.

En plus de la médaille Fields, Zelmanov a reçu d'autres honneurs pour son travail remarquable. Il a reçu le Collège de France Médaille en Janvier 1992 et le Prix André Aizenstadt en Mai 1996.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland