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Georg Friedrich Bernhard Riemann

Date de naissance:

Endroit de naissance:

Date de la mort:

Endroit de la mort:

17 Sept 1826

Breselenz, Hanover (now Germany)

20 July 1866

Selasca, Italy

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Bernhard Riemann 's père, Friedrich Bernhard Riemann, est un ministre luthérien. Friedrich Riemann marié Charlotte Ebell quand il était dans son âge mûr. Bernhard était le deuxième de leurs six enfants, deux garçons et quatre filles. Friedrich Riemann a agi comme enseignant à ses enfants et il a enseigné Bernhard jusqu'à ce qu'il était dix ans. À ce moment-là un professeur d'une école locale nommé Schulz Bernhard aidé à l'éducation.

En 1840, Bernhard entré directement dans la troisième classe du lycée à Hanovre. Si, au lycée, il vivait avec sa grand-mère, mais, en 1842, sa grand-mère est morte et Bernhard déplacé au Gymnasium Johanneum à Lüneburg. Bernhard semble avoir été une bonne chose, mais pas exceptionnelle, le nombre d'élèves qui travaillé d'arrache-pied à la classique des sujets tels que l'hébreu et la théologie. Il a montré un intérêt particulier pour les mathématiques et le directeur du Gymnase Bernhard permis d'étudier les mathématiques textes de sa propre bibliothèque. A une occasion, il a prêté Bernhard Legendre 's livre sur la théorie des nombres et Bernhard lire les 900 pages en six jours.

Au printemps de 1846 de Riemann inscrits à l'Université de Göttingen. Son père lui avait encouragé à étudier la théologie et il est entré dans la théologie du corps professoral. Il a toutefois assisté à certaines conférences en mathématiques et a demandé à son père s'il pouvait transfert à la faculté de philosophie, afin qu'il puisse étudier les mathématiques. Riemann est toujours très proche de sa famille et il n'aurait jamais changé son cours sans la permission du père. Cela a été accordée, toutefois, de Riemann et a ensuite pris des cours de mathématiques de Moritz Stern et de Gauss.

Il mai penser que Riemann est juste le bon endroit pour étudier les mathématiques à Göttingen, mais en ce moment l'Université de Göttingen a été plutôt une mauvaise place pour les mathématiques. Ne conférence de Gauss à Riemann, mais il n'était que de donner des cours élémentaires et rien ne prouve qu'en ce moment, il a reconnu le génie de Riemann. Stern, cependant, n'a certainement réaliser qu'il avait un étudiant remarquable et, plus tard, décrit de Riemann en ce moment en disant qu'il:

... déjà chanté comme un canari.

Riemann transféré de Berlin à Göttingen Université au printemps de 1847 pour étudier sous Steiner, Jacobi, Dirichlet et Eisenstein. Ce fut un moment important de Riemann. Il a appris beaucoup de Eisenstein et discuté de l'utilisation de variables complexes en fonction de la théorie elliptique. La principale personne à l'influence de Riemann en ce moment, cependant, est de Dirichlet. Klein écrit:

Riemann est tenu de Dirichlet par la forte sympathie intérieur d'une sorte de mode de pensée. Dirichlet aimait rendre les choses claires à lui-même dans un substrat intuitif, avec ce qu'il donnerait aiguë, logique des analyses de questions fondamentales et éviter de longs calculs autant que possible. Sa manière adaptée de Riemann, qui a adopté et a travaillé en fonction de Dirichlet 's méthodes.

Riemann du travail a toujours été fondée sur le raisonnement intuitif qui est tombée un peu au-dessous la rigueur nécessaire pour rendre étanches les conclusions. Toutefois, la brillante des idées qui contiennent ses œuvres sont beaucoup plus clairs, car son travail n'est pas trop rempli de longs calculs. C'est au cours de son temps à l'Université de Berlin que de Riemann travaillé son théorie générale des variables complexes qui ont formé la base de certains de ses travaux les plus importants.

En 1849, il est retourné à Göttingen et son doctorat thèse, sous la direction de Gauss, a été présenté en 1851. Toutefois, il n'était pas seulement de Gauss qui fortement influencé Riemann en ce moment. Weber était revenu à une chaise de la physique à Göttingen de Leipzig pendant le temps que Riemann a été à Berlin, et de Riemann a été son assistant pendant 18 mois. L'annonce a également été nommé professeur de physique à Göttingen en 1849. Grâce à Weber et liste de Riemann acquis une solide expérience en physique théorique et, à partir de liste, des idées importantes en topologie qui devaient influencer sa recherche novatrice.

La thèse de Riemann a étudié la théorie des variables complexes et, en particulier, ce que nous appelons maintenant les surfaces de Riemann. Il a donc introduit des méthodes topologiques complexes en fonction de la théorie. Les travaux de Cauchy s'appuie sur l 'fondations de la théorie des variables complexes mis en place depuis de nombreuses années et aussi sur Puiseux l' idées de la branche points. Toutefois, la thèse de Riemann est une pièce très originale de travail qui a examiné les propriétés géométriques des fonctions analytiques, conforme projections et à la connectivité des surfaces.

En établissant certains des résultats dans sa thèse de Riemann variationnelle utilisé un principe dont il a été par la suite pour appeler le principe de Dirichlet depuis qu'il avait appris de Dirichlet 's conférences à Berlin. Le principe de Dirichlet ne sont pas originaires de Dirichlet avec, cependant, comme Gauss, Green et Thomson ont tous fait usage si elle. La thèse de Riemann, un des plus remarquables pièces de travail original à paraître dans une thèse de doctorat, a été examiné le 16 Décembre 1851. Dans son rapport sur la thèse de Gauss décrit comme ayant de Riemann:

... une glorieusement fertiles originalité.

Le Gauss recommandation de Riemann a été nommé à un poste à Göttingen et il a travaillé pour son habilitation, le degré ce qui lui permettra de devenir un maître de conférences. Il a passé trente mois à travailler sur sa thèse d'habilitation qui se trouvait sur la représentation des fonctions trigonométriques par série. Il a donné les conditions d'une fonction d'avoir un intégrante, ce que nous appelons maintenant l'état de Riemann intégrabilité. Dans la deuxième partie de la mémoire, il a examiné le problème qu'il a décrit en ces termes:

Bien que les documents précédents ont montré que si une fonction possède telle ou telle propriété, il peut être représentée par une série de Fourier, nous poser la question inverse: si une fonction peut être représentée par une série trigonométriques, que peut-on dire au sujet de son comportement .

Pour compléter son Habilitation Riemann devait donner une conférence. Il a préparé trois conférences, deux sur l'électricité et un sur la géométrie. Gauss avait à choisir une des trois de Riemann et de fournir, contre les attentes de Riemann, Gauss a choisi la conférence sur la géométrie. L'exposé de Riemann Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie), rendu le 10 Juin 1854, est devenu un classique des mathématiques.

Il y avait deux parties de l'exposé de Riemann. Dans la première partie, il pose le problème de savoir comment définir un n dimensions d'espace et fini par donner une définition de ce que nous appelons aujourd'hui un espace Riemannian. Freudenthal écrit:

Il possède des lignes court, maintenant appelé géodésiques, qui ressemblent à des lignes droites ordinaire. En fait, en première approximation dans un système de coordonnées géodésiques une telle métrique euclidienne est plat, de la même manière qu'une surface courbe jusqu'à un ordre supérieur ce qui ressemble à son plan tangent. Êtres vivant sur la surface mai découvrir la courbure de leur monde et de le calculer en tout point comme une conséquence des écarts constatés de Pythagore théorème.

En fait, le principal point de cette partie de l'exposé de Riemann est la définition de la courbure tenseur. La deuxième partie de l'exposé de Riemann pose des questions profondes sur la relation de la géométrie au monde que nous vivons Il a demandé à ce que la dimension de l'espace réel et ce qui a été décrit la géométrie de l'espace réel. La conférence a été trop loin en avance sur son temps pour être apprécié par la plupart des scientifiques de l'époque. Monastyrsky écrit:

Parmi l'auditoire de Riemann, que Gauss a été en mesure d'apprécier la profondeur de sa pensée de Riemann. ... La conférence a dépassé toutes ses attentes et beaucoup surprendre. De retour à la faculté réunion, il a parlé avec la plus grande louange et rares enthousiasme à Wilhelm Weber sur la profondeur des réflexions que Riemann avait présenté.

Il n'a pas été pleinement comprise jusqu'à ce que soixante ans plus tard. Freudenthal écrit:

La théorie générale de la relativité parfaitement justifié son travail. Dans l'appareil mathématique développé à partir de l'adresse de Riemann, Einstein, veuillez consulter le cadre de ses propres idées physique, sa cosmologie, cosmogonie et: et l'esprit de Riemann l'adresse de tout ce qui a été physique nécessaires: la structure métrique déterminée par les données.

Donc, ce brillant ouvrage intitulé Riemann pour commencer à donner des conférences. Toutefois:

Peu de temps auparavant, en Septembre, il a lu un rapport "sur les lois de la distribution de l'électricité statique" à une session de la société de Göttingen des chercheurs scientifiques et des médecins. Dans une lettre à son père, Riemann a rappelé, entre autres choses, "le fait que je parle à une réunion scientifique a été utile pour mes conférences». En Octobre, il se mit au travail sur ses cours sur les équations aux dérivées partielles. Riemann lettres à son cher-cher père étaient pleins de souvenirs sur les difficultés qu'il a rencontrées. Bien que seulement huit étudiants ont assisté à des conférences, Riemann a été complètement heureux. Peu à peu, il a surmonté sa timidité naturelle et a établi un rapport avec son auditoire.

Gauss' s présidence à Göttingen a été comblé par Dirichlet en 1855. À ce moment-là une tentative pour obtenir un personnel de Riemann, mais ce président a échoué. Deux ans plus tard, cependant, il a été nommé en qualité de professeur et de la même année, 1857, une autre de ses chefs-d'œuvre a été publié. Le document de Théorie des fonctions abéliennes est le résultat des travaux menés sur plusieurs années, et dans un cours magistral, il a donné à trois personnes en 1855-56. Un des trois est de Dedekind qui a été en mesure d'apporter la beauté de Riemann de conférences à disposition par la publication du document de Riemann après la mort prématurée.

Les fonctions abéliennes le cas lorsqu'il le papier sa thèse de doctorat avait laissée et développer davantage l'idée de Riemann surfaces et leurs propriétés topologiques. Il a examiné de valeurs multiples fonctions comme une valeur unique sur une surface de Riemann spéciale et de résoudre les problèmes d'inversion générale qui a été résolu pour les intégrales elliptiques par Abel et Jacobi. Toutefois Riemann n'a pas été le seul mathématicien travaillant sur ces idées. Klein écrit:

... lorsque Weierstrass a présenté un premier traitement des fonctions abéliennes à l'Académie de Berlin en 1857, le document de Riemann sur le même thème paru dans Crelle 's Journal, Volume 54. Il contient de nombreux imprévus, de nouveaux concepts que Weierstrass a retiré son document et, en fait, publié pas plus.

Le principe de Dirichlet de Riemann, qui avait utilisé dans sa thèse de doctorat a été utilisée par lui-même à nouveau les résultats de ce document de 1857. Weierstrass, toutefois, a montré qu'il y avait un problème avec le principe de Dirichlet. Klein écrit:

La majorité des mathématiciens s'est éloigné de Riemann ... Riemann avait un tout autre avis. Il a pleinement reconnu la justice et l'exactitude de Weierstrass' s critique, mais il a dit, comme Weierstrass m'a dit une fois, que le requérant a fait appel à de Dirichlet 's Principe seulement comme un outil pratique qui a droit à portée de main, et que son existence théorèmes sont encore correctes .

Nous reviendrons à la fin du présent article, d'indiquer comment le problème de l'utilisation de Dirichlet 's Principe dans les travaux de Riemann ont été classés.

En 1858, Betti, Casorati et Brioschi visité Göttingen et de Riemann discuté avec eux ses idées en topologie. Cela a donné un plaisir particulier de Riemann et Betti peut-être en particulier profité de ses contacts avec de Riemann. Ces contacts ont été renouvelés lors de Riemann Betti s'est rendu en Italie en 1863. Dans deux lettres de Betti, montrant la topologique idées qu'il a appris de Riemann, sont reproduites.

En 1859, Dirichlet et Riemann est mort a été nommé à la chaire de mathématiques à Göttingen le 30 Juillet. Quelques jours plus tard, il a été élu à l'Académie de Berlin des sciences. Il avait été proposé par trois des mathématiciens Berlin, Kummer, Borchardt et Weierstrass. Leur proposition suit:

Avant l'apparition de ses plus récents travaux [Théorie des fonctions abéliennes], Riemann était presque inconnu de mathématiciens. Cette circonstance excuses peu la nécessité d'un examen plus détaillé de ses œuvres comme une base de notre présentation. Nous avons considéré qu'il est de notre devoir à son tour l'attention de l'Académie à notre collègue que nous vous recommandons de ne pas comme un jeune talent qui donne beaucoup d'espoir, mais plutôt comme une pleine maturité et chercheur autonome dans notre domaine de la science, progrès dont il a dans une large mesure a encouragée.

Un nouveau membre élu de Berlin Académie des sciences a dû faire rapport sur leurs plus récents de la recherche et de Riemann envoyé un rapport sur le nombre de nombres premiers moins d'une ampleur donnée une autre de ses grands chefs-d'œuvre qui devait changer la direction de la recherche mathématique dans un plus importante. Dans celle-ci a examiné les Riemann zeta function

(S) = (1 / n s) = (1 - p - s) -1

qui avait déjà été examinée par Euler. Ici, la somme est sur tous les nombres naturels N Alors que le produit est sur tous les nombres premiers. Riemann considérée comme une question très différente de celle d'Euler avait envisagé, car il penché sur la fonction zeta comme une fonction complexe plutôt que réel. Sauf pour quelques exceptions insignifiantes, les racines de (s) se situent tous entre 0 et 1. Dans le document il a déclaré que la fonction zeta a nontrivial infinité de racines et qu'il semble probable que tous ont partie réelle 1 / 2. C'est la célèbre hypothèse de Riemann, qui reste aujourd'hui l'un des plus important des problèmes non résolus de mathématiques.

Riemann a étudié la convergence de la série représentation de la fonction zeta et de fonder une équation fonctionnelle pour la fonction zeta. Le principal but de ce document est de fournir des estimations pour le nombre de nombres premiers inférieure à un nombre donné. La plupart des résultats obtenus de Riemann, qui ont par la suite été prouvée par Hadamard et de la Vallée Poussin.

En Juin 1862 Riemann mariés Elise Koch qui était un ami de sa sœur. Ils ont une fille. À l'automne de l'année de son mariage Riemann pris une lourde froid qui se sont tournés vers la tuberculose. Il n'a jamais eu bonne santé toute sa vie et en fait ses graves problèmes de santé probablement remonter beaucoup plus loin que ce froid il a pris. En fait, sa mère était morte lors de Riemann était de 20 alors que son frère et trois sœurs tous sont morts jeunes. Riemann essayé de lutter contre la maladie en se rendant sur le réchauffement du climat de l'Italie.

L'hiver 1862-63 a été dépensé en Sicile et il a ensuite voyagé à travers l'Italie, passer du temps avec Betti italien et d'autres mathématiciens qui s'est rendu Göttingen. Il est retourné à Göttingen en Juin 1863 mais sa santé s'est détériorée rapidement et une fois de plus, il est retourné en Italie. Ayant passé de Août 1864 à Octobre 1865 en Italie du Nord, de Riemann est retourné à Göttingen pour l'hiver de 1865-66, puis a regagné Selasca, sur les rives du lac Majeur, le 16 Juin 1866. Dedekind écrit:

Sa force a diminué rapidement, et lui-même estimé que sa fin était proche. Mais encore, la veille de sa mort, le repos sous un figuier, son âme remplie de joie à la magnifique paysage, il a travaillé sur son travail définitif qui, malheureusement, a été laissée en suspens.

Enfin nous revenons à Weierstrass' s critique de Riemann de l'utilisation de Dirichlet 's Principe. Weierstrass a montré que de minimiser une fonction n'était pas garantie par le principe de Dirichlet. Cela a eu pour effet d'amener les gens à douter de ses méthodes de Riemann. Freudenthal écrit:

Tous utilisé du matériel de Riemann, mais sa méthode a été entièrement négligé. ... Au cours de la fin du siècle les résultats de Riemann ont exercé une énorme influence: sa façon de penser, mais peu.

Weierstrass est fermement convaincue de Riemann de résultats, en dépit de sa propre découverte du problème avec le principe de Dirichlet. Il a demandé à ses étudiants Hermann Schwarz pour essayer de trouver d'autres preuves de l'existence de Riemann théorèmes qui n'a pas utilisé le principe de Dirichlet. Il a réussi à le faire au cours de 1869-70. Klein, cependant, était fasciné par la géométrie de Riemann approche et il a écrit un livre en 1892 en donnant sa version des travaux de Riemann encore écrit beaucoup dans l'esprit de Riemann. Freudenthal écrit:

Il est un beau livre, et il serait intéressant de savoir comment il l'a reçue. Probablement infraction a eu de nombreux à son manque de rigueur: Klein est trop dans l'image de Riemann à être convaincant pour les gens qui ne croient pas ce dernier.

En 1901, Hilbert mandé l'approche de Riemann en donnant la bonne forme de Dirichlet 's Principe nécessaires pour faire de Riemann de preuves rigoureuses. La recherche d'une preuve rigoureuse n'a pas été une perte de temps, toutefois, depuis de nombreuses idées algébriques ont été découverts par Clebsch, Gordan, Brill et Max Noether tout ils ont essayé de prouver les résultats de Riemann. Monastyrsky écrit:

Il est difficile de rappeler un autre exemple dans l'histoire du XIX e siècle lorsque les mathématiques une lutte pour une preuve rigoureuse a conduit à ces résultats de production.


Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland