Mathématiciens

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Gerhard Gentzen

Date de naissance:

Endroit de naissance:

Date de la mort:

Endroit de la mort:

24 Nov 1909

Greifswald, Germany

4 Aug 1945

Prague, Czechoslovakia

Présentation Wikipedia
ATTENTION - traduction automatique de la version anglaise

Gerhard Gentzen 's père était un avocat qui a pratiqué le droit à Bergen sur l'île de Rügen. C'est là que Gerhard a passé son enfance, d'abord la participation à l'école primaire, et plus tard, le Realgymnasium. Son père, cependant, a été tué dans la Première Guerre mondiale et en 1920 la mère de Gentzen déménagé à Stralsund. Gentzen a déjà commencé ses études secondaires à ce stade, mais il a continué ses études au lycée en Humanistische Stralsund.

Certes, le déplacement des écoles n'a pas d'incidence sur la Gentzen pour des résultats académiques lorsqu'il a reçu son baccalauréat en 1928 il était avec distinction et il a été classé en tête de son école. En Robbel décrit le monde intellectuel des jeunes Gentzen en particulier l'examen de l'influence sur lui de ses grands-parents (en particulier un Bilharz) et ses parents. Les résultats de son examen 1928 Reifeprufung sont donnés en annexe. Le directeur de l'Humanistische Gymnasium a été certainement impressionné par les résultats et, reconnaissant son exceptionnelle capacité mathématique, lui a accordé une bourse universitaire.

Gentzen, de même que d'habitude en ce moment, déplacé entre les différentes universités allemandes. Il a commencé ses études de mathématiques à l'Université de Greifswald en 1928 puis, après avoir étudié pendant deux semestres, il entre à l'Université de Göttingen, le 22 avril 1929. Ici aussi, il n'a passé que deux semestres avant de passer, cette fois à l'Université de Munich, où il a passé un semestre seulement suivie par plus d'un semestre à l'Université de Berlin. Après cela, il est retourné à Göttingen, où il a travaillé en vertu de Weyl pour son doctorat sur les fondements des mathématiques. Il a été enseigné par Bernays, Carathéodory, Courant, Hilbert, Kneser, Edmund Landau et, bien sûr, son chef de Weyl.

En 1933, Gentzen a obtenu son doctorat à Göttingen, mais l'étude intense dans des environnements différents ont fait payer un lourd tribut et il a été forcé à ce stade de rentrer chez eux pour se reposer et de récupérer sa santé. Il est retourné à Göttingen, Hilbert devient l 'assistant en 1934. ME Szabo écrit:

... il a continué à travailler [à Göttingen] Hilbert même après l 'retraite. Au cours de ces années Gentzen publié quelques-uns de ses plus importants documents de travail et a également eu la tâche responsable de l'examen de nombreuses oeuvres d'éminents chercheurs provenant de nombreux pays pour le Zentralblatt für Mathematik. Ces commentaires témoignent de son extraordinaire éventail d'intérêts et la grande étendue de son implication dans la communauté internationale de chercheurs.

Comme nous l'avons mentionné, Gentzen de travail a été sur la logique et les fondements des mathématiques. Il a présenté son premier document à Mathematische Annalen au début de 1932. Ce document étudie la théorie de «systèmes de phrase« et répond à un problème majeur ouvert en la matière par la construction d'un contre-exemple pour montrer que tous les systèmes ont phrase axiome indépendant. Cependant, il a également montré que les systèmes linéaires phrase ne disposent d'axiome. Il a introduit la notion de «conséquence logique» qui a fourni une logique plus proche de raisonnement mathématique que les systèmes proposés par Frege, Russell et de Hilbert. Cette idée a été plus tard attribué à Tarski qui introduit en 1936, trois ans après Gentzen.

En 1934, Gentzen a donné la méthode de Sequenzen succincte, les règles d'consequents, qui ont été particulièrement utiles pour obtenir metalogical décidabilité résultats. Hilbert avait à travailler sur les méthodes de soi et la classification des niveaux en mathématiques. L'idée des niveaux, probablement introduit pour la première fois par Weyl, la théorie considère que le premier niveau, car il traite avec les nombres naturels, l'analyse que le deuxième niveau, car il traite avec les nombres réels et théorie des ensembles comme le troisième niveau où la pleine mesure Cantor de l 'cardinaux et nombres ordinaux serait étudié. Gentzen a écrit plusieurs articles sur ces concepts, en particulier l'examen de l'accident de théorie des ensembles de paradoxes.

Bien sûr, Gödel a publié son théorème d'incomplétude juste au moment Gentzen commençait son travail. Dans un premier temps Gentzen inquiet qu'elle affectait ce qu'il voulait réaliser sur les fondements des mathématiques et il a retiré ce qui aurait été son deuxième papier après avoir corrigé les épreuves finales en raison des inquiétudes quant à l'importance de Gödel de l 'théorèmes. Plus tard, cependant, il a écrit de Gödel de l 'résultat en disant:

... c'est sans aucun doute un très intéressant, mais certainement pas un alarmantes, résultat. On peut paraphraser en disant que pour la théorie des nombres pas une fois et pour tous suffisant système de formes d'inférence peut être spécifié, mais qui au contraire, de nouveaux théorèmes peut toujours être trouvée dont la preuve exige une nouvelle forme d'inférence.

Dans un article publié dans Mathematische Zeitschrift Gentzen en 1935 introduit deux nouvelles versions principales de logique, qui s'appelle aujourd'hui le système N-et L-système. Dans l'année suivante, il a donné une preuve de cohérence en termes de type N logique pour le système S de l'arithmétique avec l'induction. Gentzen a écrit dans l'introduction de ce document:

L'objectif du présent document est de prouver la cohérence élémentaires de la théorie des nombres, ou plutôt, afin de réduire la question de la cohérence à certains principes fondamentaux.

Il examine ensuite pourquoi une telle cohérence des preuves sont nécessaires:

Les mathématiques sont considérées comme les plus certains de toutes les sciences. Qu'il pourrait conduire à des résultats qui sont en contradiction avec une autre semble impossible. Cette foi dans la certitude indubitable de démonstrations mathématiques a été secoué, malheureusement autour de 1900 par la découverte des antinomies ou paradoxes de la théorie des ensembles. Il s'est avéré que, dans ce domaine spécialisé des mathématiques, des contradictions surgissent sans que nous puissions reconnaître une erreur dans notre raisonnement.

Après discussion sur les paradoxes, en particulier Russell 's paradoxe, Gentzen écrit:

... Je vais procéder à une telle preuve de cohérence pour le primaire la théorie des nombres. Pourtant, même ici, nous nous réunirons formes d'inférence dont de plus près nous donnera une source de préoccupation. ... Un point doit toutefois être clair dès le départ: ces formes d'inférence qui pourrait éventuellement être considérée comme contestable presque jamais se produire en nombre réel des épreuves théoriques, nous ne devons pas être induits en erreur et, en raison de la grande auto-preuves de ces preuves, examiner une preuve de cohérence car elle est superflue.

Gödel par l 'unprovability théorème, une telle preuve a Gentzen a dû faire usage des outils plus forte que ceux de S; l'extension de récurrence ordinaire, Gentzen employés transfinite induction jusqu'à Cantor "epsilon premier numéro, et il a également montré que c'était le minimum requis pour une telle preuve.

Kleene a écrit:

... dans quelle mesure la Gentzen la preuve peut être accepté comme assurer la théorie classique dans le sens de cette formulation problème est dans l'état actuel des choses une question de jugement personnel.

Tarski a écrit:

Gentzen la preuve de la cohérence de l'arithmétique est sans aucun doute un très intéressant metamathematical résultat, mai s'avérer très stimulant et fructueux. Je ne peux pas dire, toutefois, que la cohérence de l'arithmétique est maintenant beaucoup plus évident pour moi ... qu'elle ne l'était avant la preuve a été donnée.

Gentzen a été le plus remarquable contribution à Hilbert 's axiomatising programme de mathématiques. En 1937, il a pris la parole devant le Congrès à Paris en parler avec un titre concept de l'infini et la cohérence des mathématiques. L'excellence de son travail, cependant, il a été coupé court par le début de la Seconde Guerre mondiale.

Gentzen est resté sur le personnel à Göttingen jusqu'en 1943, mais il a dû entreprendre le service militaire dans les années 1939 à 1941. Il a été enrôlés dans l'armée où il a travaillé dans le domaine des télécommunications. Il est devenu malade, cependant, et a passé trois mois à récupérer dans un hôpital militaire. Son état de santé était désormais trop pauvres pour lui permettre de poursuivre son service militaire et il est retourné à Göttingen. Au cours de l'été 1942, il a présenté sa thèse d'habilitation Provability et nonprovability restreintes transfinite induction dans la théorie des nombres élémentaire à Göttingen et, sur l'attribution du diplôme, il est habilité à enseigner dans les universités.

Dans le cadre de l'effort de guerre allemand, il a pris un poste d'enseignant comme une Dozent dans l'Institut de mathématiques de l'université allemande de Prague et il a enseigné jusqu'à ce que arrêté et placé en garde à vue. Les citoyens de Prague a augmenté dans la révolte contre les forces allemandes d'occupation le 5 Mai 1945, la journée tout le personnel de l'université allemande ont été arrêtés, et a tenu la ville jusqu'à ce que l'Armée Russe est arrivé quatre jours plus tard. Il faudrait mentionner les faits concernant Gentzen politiques et militaires de vie qui concerne Vihan, à savoir son association avec l'AS, NSDAP et NSD Dozentenbund. Gentzen a été internés par les forces de la Russe et a tenu dans de mauvaises conditions. Il est mort de malnutrition après 3 mois d'internement. Un ami qui était en prison avec lui décrit ses derniers jours:

Je peux le voir couché sur son lit en bois toute la journée réflexion sur les problèmes mathématiques qui préoccupaient. Il a une fois confié en moi qu'il était vraiment tout à fait car maintenant il a enfin le temps de réfléchir à une cohérence d'analyse preuve ... Il a également concerné lui-même avec d'autres questions telles que celle d'une langue artificielle, etc maintenant et puis il donne un court parler ... nous avons été continuellement rassuré que les formalités de notre libération ne ferait que prendre quelques jours de plus .... il a été l'espoir de pouvoir retourner à Göttingen et se consacrer pleinement à l'étude de la logique mathématique et les fondements des mathématiques. Il rêvait d'un institut à cet effet ...

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland