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Euclid of Alexandria

Date de naissance:

Endroit de naissance:

Date de la mort:

Endroit de la mort:

about 325 BC

about 265 BC

Alexandria, Egypt

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Euclide d'Alexandrie est le plus éminent mathématicien de l'antiquité, surtout connu pour son traité sur Les éléments mathématiques. La longue durée de la nature des éléments d'Euclide doit faire le premier professeur de mathématiques de tous les temps. Mais on sait peu de choses de la vie d'Euclide, sauf qu'il a enseigné à Alexandrie en Egypte. Proclus, le dernier grand philosophe grec, qui a vécu autour de 450 AD a écrit (ou de voir ou de nombreuses autres sources):

Pas beaucoup plus jeunes que ceux-ci, [les élèves de Platon] est Euclide, qui rassemble les "Eléments", afin d'organiser de nombreuses Eudoxe de l 'théorèmes, le perfectionnement de nombreux Theaetetus' s, et en apportant la démonstration irréfutable de ce qui avait été seulement vaguement prouvé par ses prédécesseurs. Cet homme a vécu au temps du premier Ptolémée, pour Archimède, qui a suivi de près lors de la première Ptolémée fait mention d'Euclide, et ils disent que Ptolémée une fois lui a demandé s'il y avait un court-moyen d'étudier la géométrie que les éléments, à laquelle il a répondu qu'il n'y avait pas de voie royale à la géométrie. Il est donc plus jeune que Platon l 'cercle, mais de plus de Eratosthène et Archimède, pour ces contemporains, comme Eratosthène dit quelque part. Dans son but, il a été platoniques, qui est en sympathie avec cette philosophie, où il a fait la fin de l'ensemble "Éléments" la construction du soi-disant platonicienne chiffres.

Il est d'autres informations sur Euclide donnée par certains auteurs mais il n'est pas jugé fiable. Deux types différents de ce surcroît d'informations. Le premier type d'informations supplémentaires est celle donnée par l'Arabie auteurs qui affirment que Euclide était le fils de Naucrates et qu'il est né à Tyr. Il est estimé par les historiens des mathématiques que cela est entièrement fictif et a été simplement inventé par les auteurs.

Le deuxième type d'information est que Euclide est né à Mégare. Cela est dû à une erreur de la part des auteurs qui ont donné en premier lieu ces informations. En fait, il a été un Euclide de Mégare, qui était un philosophe qui a vécu environ 100 ans avant le mathématicien Euclide d'Alexandrie. Il n'est pas tout à fait un hasard si elle peut sembler qu'il y avait deux hommes appelés appris Euclide. En fait Euclide était un nom très commun autour de cette période, ce qui est une complication supplémentaire qui le rend difficile à découvrir des informations concernant Euclide d'Alexandrie car il est fait référence à de nombreux hommes d'Euclide appelé dans la littérature de cette période.

Revenant à la citation de Proclus qui précèdent, le premier point à faire est que rien n'est incompatible de la rencontre donnée. Toutefois, bien que nous ne savons pas exactement de ce que certains de référence à Euclide dans Archimède Proclus de travail se réfère, dans ce qui est arrivé jusqu'à nous il ya seulement une référence à Euclide et cela se produit sur la sphère et le cylindre. Le évident conclusion, donc, est que tout va bien avec l'argument de Proclus, ce qui était supposé jusqu'à ce que contesté par Hjelmslev dans le domaine. Il a fait valoir que la référence à Euclide a été ajouté à Archimède livre à un stade ultérieur, et, en fait, il est un peu surprenant de référence. Ce n'est pas la tradition du temps à donner de telles références, d'ailleurs il ya beaucoup d'autres endroits dans Archimède où il serait approprié de faire référence à Euclide et l'absence d'une telle référence. En dépit de Hjelmslev de la requérante que le passage a été ajouté plus tard, Bulmer-Thomas écrit:

Bien qu'il n'est plus possible de se fonder sur cette référence, un examen général des travaux d'Euclide ... encore montre qu'il doit avoir écrit après ces élèves de Platon comme avant Eudoxe et Archimède.

Pour une discussion plus approfondie sur datant d'Euclide, voir, par exemple. C'est loin d'être une fin aux arguments sur le mathématicien Euclide. La situation est mieux résumée par Itard qui donne trois hypothèses possibles.

(i) Euclide était un personnage historique qui a écrit Les éléments et les autres œuvres qui lui sont attribuées.

(ii) d'Euclide était le chef d'une équipe de mathématiciens de travail à Alexandrie. Ils ont tous contribué à l'écriture «œuvres complètes d'Euclide», même en continuant à écrire des livres d'Euclide en vertu de nom après sa mort.

(iii) d'Euclide n'était pas un personnage historique. Le «œuvres complètes d'Euclide" ont été rédigés par une équipe de mathématiciens à Alexandrie, qui a pris le nom d'Euclide du caractère historique Euclide de Mégare qui a vécu environ 100 ans plus tôt.

Il est intéressant de remarquer que Itard, qui accepte de Hjelmslev affirme que le passage sur Euclide a été ajouté à Archimède, est favorable à la deuxième des trois possibilités que nous avons listées ci-dessus. Nous devons, cependant, de faire quelques commentaires sur les trois possibilités qui, il est juste de dire, résument assez bien toutes les théories actuelles.

Il ya de solides preuves à l'accepter (i). Il a été acceptée sans question par tout le monde pour plus de 2000 ans et il ya peu de preuves qui est incompatible avec cette hypothèse. Il est vrai qu'il existe des différences de style entre certains des livres que des éléments encore de nombreux auteurs varier leur style. Encore une fois, le fait que Euclide sans aucun doute fondée sur les éléments précédents travaux, il serait assez remarquable si aucune trace du style de l'auteur original est resté.

Même si nous acceptons (i) il ne fait guère de doute que Euclide mis en place une vigoureuse école de mathématiques à Alexandrie. Il aurait donc eu un certain pouvoir mai élèves qui ont contribué par écrit les livres. Toutefois hypothèse (ii) va beaucoup plus loin et suggère que les différents livres ont été écrits par différents mathématiciens. Autres que les différences dans le modèle visé ci-dessus, il ya peu de preuves directes de cette situation.

Bien que sur le visage de celui-ci (iii) peut paraître le plus fantaisiste des trois suggestions, néanmoins le 20 e siècle de Bourbaki exemple montre qu'il est loin d'être impossible. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley, Alexander Grothendieck et écrit collectivement sous le nom de Bourbaki Bourbaki et de l 'Eléments de mathématiques contient plus de 30 volumes. Bien sûr, si (iii) ont été la bonne hypothèse alors Apollonius, qui a étudié avec les élèves d'Euclide à Alexandrie, doit avoir connaissance il n'y avait pas de personne "Euclide", mais le fait qu'il a écrit:

.... Euclide n'a pas les synthèses du locus à l'égard de trois et quatre lignes, mais seulement une partie de chance ...

certainement ne prouve pas que Euclide était un personnage historique car il ya beaucoup de références analogues aux mathématiciens Bourbaki par qui savait parfaitement que Bourbaki était fictif. Néanmoins, les mathématiciens qui composaient l'équipe Bourbaki sont tous bien connus dans leur propre droit et ce mai être le plus grand argument contre l'hypothèse (iii) que le "Euclide équipe" aurait consisté à avoir des mathématiciens en suspens. Alors qui sont-ils?

Nous supposons dans cet article que l'hypothèse (i) est vrai, mais, n'ayant pas connaissance d'Euclide, nous devons nous concentrer sur ses travaux après avoir fait quelques commentaires sur les événements historiques. Euclide doivent avoir étudié à l'Académie de Platon à Athènes d'avoir appris de la géométrie de Eudoxe et Theaetetus de laquelle il était si familier.

Aucune des œuvres d'Euclide ont une préface, du moins aucun est venu jusqu'à nous, il est fort peu probable que jamais existé, nous ne pouvons pas voir tout de son caractère, comme nous pouvons d'autres mathématiciens grecs, de la nature de leurs préfaces . Pappus écrit (voir, par exemple) qui était Euclide:

... plus équitable et favorable à tous qui ont pu en toute mesure de faire progresser les mathématiques, une en aucune façon à donner infraction, et si un savant exacte vaunting pas lui-même.

Certains prétendent ces mots ont été ajoutés à Pappus, et certainement le point de passage (dans une poursuite que nous n'avons pas cité) est de parler durement (et presque certainement injustement) de Apollonius. L'image d'Euclide tirées par Pappus est, toutefois, certainement en ligne avec la preuve de ses textes mathématiques. Une autre histoire racontée par Jean de Stobée est le suivant:

... quelqu'un qui a commencé à apprendre avec la géométrie d'Euclide, quand il a appris le premier théorème, a demandé à Euclide "Que vais-je obtenir par l'apprentissage de ces choses?" Euclide appelé son esclave et a dit «Donnez-lui threepence car il doit faire gagner sur ce qu'il apprend".

Euclide l'œuvre la plus célèbre est son traité sur Les éléments mathématiques. Le livre est une compilation de connaissances qui est devenu le centre de mathématiques pour l'enseignement de 2000 ans. Probablement pas de résultats dans les éléments ont d'abord été prouvé par Euclide, mais l'organisation du matériel et de son exposition sont certainement en raison de lui. En fait, il est largement prouvé que Euclide est antérieure en utilisant les manuels scolaires, il écrit les éléments car il introduit un certain nombre de définitions qui ne sont jamais utilisés, tels que celui d'une forme oblongue, un losange et un losange.

Les éléments commence avec les définitions et les cinq postulats. Les trois premiers postulats sont des postulats de la construction, par exemple le premier postulat indique qu'il est possible de tirer une ligne droite entre deux points quelconques. Ces postulats également assumer implicitement l'existence de points, lignes et des cercles, puis l'existence d'autres objets géométriques sont déduites du fait que celles-ci existent. Il existe d'autres hypothèses dans les postulats qui ne sont pas explicites. Par exemple, il est supposé qu'il existe une unique ligne reliant deux points. De même postule deux et trois, sur la production de lignes droites et cercles dessin, respectivement, assumer le caractère unique des objets de la possibilité dont la construction est en cours postulé.

Les quatrième et cinquième postulats sont de nature différente. Quatre États postulat que tous les angles droits sont égaux. Cette mai semblent "évidentes", mais il suppose en fait que l'espace homogènes - de ce que nous entendons un chiffre sera indépendant de la position dans l'espace dans lequel il est placé. Le célèbre cinquième, ou en parallèle, postulat que l'un et seulement une ligne peut être utilisée par un point parallèle à une ligne donnée. Euclide a décidé de faire un postulat conduit à la géométrie euclidienne. Il n'était pas jusqu'à ce que le 19 e siècle que ce postulat a été abandonnée et non-euclidienne géométries ont été étudiés.

Il ya aussi des axiomes d'Euclide, qui appelle "des notions communes». Il ne s'agit pas de propriétés géométriques mais plutôt générales hypothèses mathématiques qui permettent de procéder comme une science déductive. Par exemple:

Les choses qui sont égaux à la même chose sont égaux les uns aux autres.

Zeno de Saïda, à environ 250 ans après Euclide a écrit les éléments, semble avoir été la première à montrer que d'Euclide propositions n'ont pas été déduite de postulats et axiomes seul, et Euclide ne faire d'autres hypothèses subtiles.

Les éléments est divisé en 13 livres. Livres de un à six traitent de géométrie plane. En particulier les livres et une série de deux propriétés de base de triangles, parallèles, parallélogrammes, rectangles et carrés. Réserver trois études propriétés du cercle tandis que quatre livre traite de problèmes sur les milieux et semble en grande partie à définir le travail des disciples de Pythagore. Réserver cinq énonce les travaux de Eudoxe sur proportion appliquée à commensurables et incommensurables grandeurs. Heath dit:

Grec mathématiques ne peut se vanter fine découverte que cette théorie, qui a mis sur pied un son tellement que de la géométrie dépend de l'utilisation des proportions.

Six livre se penche sur les applications des résultats de la livre cinq à géométrie plane.

Livres de sept à neuf face à la théorie des nombres. En particulier sept livre est un self-contained introduction à la théorie des nombres et qui contient les Algorithme d'Euclide pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres. Livre ressemble à huit chiffres en progression géométrique, mais van der Waerden écrit en ce sens qu'il contient:

... énonciations lourdes, les répétitions inutiles, et même logique erreurs. Apparemment, d'Euclide exposition excellé que dans les parties où il avait d'excellentes sources à sa disposition.

Dix livre traite de la théorie des nombres irrationnels et sont principalement le travail de Theaetetus. Euclide changé les preuves de plusieurs théorèmes dans ce livre afin qu'ils équipé la nouvelle définition de la proportion donnée par Eudoxe.

Livres de onze à treize face à trois dimensions. En treize livre les définitions de base nécessaires pour les trois livres sont données. Les théorèmes puis suivre un schéma assez semblable aux deux dimensions analogues précédemment donné dans les livres un et quatre. Les principaux résultats du livre que sont douze cercles sont l'un à l'autre comme les carrés de leurs diamètres et les domaines qui sont les uns aux autres comme les cubes de leurs diamètres. Ces résultats sont certainement dus à Eudoxe. Euclide prouve ces théorèmes en utilisant la "méthode de l'épuisement", inventé par Eudoxe. Les éléments se termine par treize livre qui porte sur les propriétés des cinq polyèdres réguliers et donne une preuve qu'il ya précisément cinq ans. Ce livre semble être essentiellement basé sur un traité plus tôt par Theaetetus.

Éléments d'Euclide est remarquable pour la clarté avec laquelle les théorèmes sont énoncés et prouvée. Le niveau de rigueur devait devenir un objectif pour les inventeurs du calcul siècles plus tard. Comme écrit dans la santé:

Ce magnifique livre, avec toutes ses imperfections, qui sont en fait assez légère si l'on tient compte de la date à laquelle elle semble, est et restera sans doute le plus grand manuel mathématique de tous les temps. ... Même en grec fois accompli le plus occupé les mathématiciens eux-mêmes avec elle: Heron, Pappus, Porphyre, Proclus et Simplicius a écrit des commentaires; Theon d'Alexandrie ré-édité, modifier la langue ici et là, la plupart avec une vue à une plus grande clarté et de cohérence. ..

Il est une histoire fascinante comment les éléments a survécu d'Euclide de temps et c'est bien dit dans Fowler. Il a décrit les premiers documents relatifs aux éléments qui a survécu:

Notre plus tôt aperçu de euclidienne matériel sera le plus remarquable pour un mille ans, six fragmentaires Ostraca contenant du texte et une figure ... trouvé sur l'île Éléphantine en 1906/07 et 1907/08 ... Ces textes sont au début, mais encore plus de 100 ans après la mort de Platon (ils sont en date du paléographique motifs au troisième trimestre de la troisième siècle avant J.-C.); avancés (ils traitent avec les résultats ont été trouvé dans les "Éléments" [livre treize ] ... Sur le pentagone, l'hexagone, décagone, et icosaèdre), et ils ne suivent pas le texte des éléments. ... Ainsi, ils donnent la preuve de quelqu'un dans le troisième siècle avant JC, située à plus de 500 km au sud d'Alexandrie, dans le cadre de ce travail difficile matériel ... ce mai être une tentative pour comprendre les mathématiques, et pas une copie servile ...

La prochaine fragment que nous avons les dates de 75 - 125 AD et semble de nouveau être note par quelqu'un qui essaie de comprendre la matière des éléments.

Plus d'un millier d'éditions des éléments ont été publiés depuis qu'il a été imprimé en 1482. Heath discute beaucoup des éditions et décrit les changements probables au texte au fil des ans.

BL van der Waerden évalue l'importance des éléments en:

Presque dès le moment de son écriture et de près à l'heure actuelle, les éléments a exercé et continue une influence majeure sur les affaires humaines. Il a été la principale source de raisonnement géométrique, théorèmes et des méthodes au moins jusqu'à l'avènement de la non-géométrie euclidienne dans le 19 e siècle. Il est parfois dit que, à côté de la Bible, les "Éléments" mai être le plus traduit, publié, et a étudié de tous les livres produits dans le monde occidental.

Euclide a aussi écrit les livres suivants qui ont survécu: Data (avec 94 propositions), qui ressemble à ce que les propriétés des chiffres peuvent être déduites lorsque d'autres biens sont donnés, sur les divisions qui se penche sur les constructions à un chiffre diviser en deux parties ayant des zones de données ratio; Optique qui est le premier grec travail sur la perspective et Phaenomena qui est une introduction élémentaire à l'astronomie et de mathématiques donne des résultats sur le temps étoiles dans certains postes et lieu fixés. Euclide livres suivants ont tous été des défaites: Les lieux de surface (deux livres), Porisms (trois livre un travail, en fonction de Pappus, 171 théorèmes et 38 lemmes), coniques (quatre livres), Book of Fallacies et les éléments de la musique. Le Livre de Fallacies est décrit par Proclus:

Depuis beaucoup de choses semblent se conformer à la vérité et de suivre des principes scientifiques, mais de conduire l'égarer et de tromper les principes les plus superficielles, [Euclide] a rendu les méthodes d'lucide compréhension de ces questions aussi ... Le traité dans lequel il a donné à ce mécanisme nous est intitulé Fallacies, énumérant l'ordre dans les différents types, dans l'exercice de notre intelligence dans chaque cas par les théorèmes de toutes sortes, la véritable mise côte à côte avec le faux, et en combinant la réfutation de l'erreur avec illustration pratique.

Éléments de la musique est un travail qui est attribué à Euclide par Proclus. Nous avons deux traités sur la musique qui ont survécu et ont par certains auteurs attribué à Euclide, mais il semble maintenant qu'ils ne sont pas les travaux sur la musique visés par Proclus.

Euclide mai ne pas avoir été un mathématicien de première classe mais le caractère durable des éléments doit faire de lui le premier professeur de mathématiques de l'antiquité ou peut-être de tous les temps. Comme une dernière note personnelle permettez-moi d'ajouter que mon [EFR] introduction propres à l'enseignement des mathématiques à l'école dans les années 1950 a été une édition d'une partie des Éléments d'Euclide et le travail fourni une base logique pour les mathématiques et le concept de la preuve qui semblent faire défaut mathématiques à l'école aujourd'hui.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland