Mathématiciens

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Ivar Otto Bendixson

Date de naissance:

Endroit de naissance:

Date de la mort:

Endroit de la mort:

1 Aug 1861

Bergshyddan, Djurgardsbrunn, Sweden

1935

Présentation Wikipedia
ATTENTION - traduction automatique de la version anglaise

Ivar Bendixson 's père était Vilhelm Emanuel Bendixson, qui était un commerçant, et sa mère est Tony Amelia Warburg. Ivar est né dans une famille de classe moyenne. Après avoir assisté à une nouvelle école primaire, Ivar étudié dans une école secondaire à Stockholm. Après avoir achevé sa scolarité, il a obtenu son certificat de scolarité, le 25 Mai 1878 et, le 13 Septembre de la même année, il s'inscrit à la Royal Institut technologique. Il est à noter que Royal Institut technologique est une traduction littérale de "Tekniska högskola» qui signifie littéralement Technical High School, mais l'appeler une haute école en anglais serait une erreur.

En 1879, Bendixson est allé à l'Université d'Uppsala, la plus ancienne institution d'enseignement supérieur en Suède, et il a obtenu son diplôme avec l'équivalent d'un diplôme de maîtrise le 27 Janvier 1881. Université de Stockholm a été la troisième université en Suède et il est prévu de 1865 mais il n'a pas ouvert avant 1880. Nous notons que bien que nous ferons référence à ce ici par son nom actuel de l'Université de Stockholm, il était connu en Suède Stockholms Högskola jusqu'en 1950, qui signifie littéralement "Stockholm High School". Au moment où Bendixson diplômé de Uppsala, Université de Stockholm a été ouvert et il a étudié. Après des études à Stockholm, il a reçu un doctorat par l'Université d'Uppsala le 29 Mai 1890.

Le 10 Juin 1890 Bendixson a été nommé comme un guide à l'Université de Stockholm. Il a ensuite travaillé comme assistant du professeur d'analyse mathématique du 5 Mars 1891 jusqu'au 31 Mai 1892. De 1892 jusqu'en 1899, il enseigne à l'Institut technologique royal de Stockholm et il a également enseigné le calcul et l'algèbre à l'Université de Stockholm. Au cours de cette période, il a épousé Anna Lind Hélène le 19 Décembre 1887. Anna, qui était d'environ dix-huit mois plus de Bendixson, était la fille du banquier Johan Lind.

En 1899 Bendixson remplacé par le professeur de mathématiques pures au Royal Institut technologique, puis il a été promu professeur, il le 26 Janvier 1900. Le 16 Juin 1905, il est devenu professeur de mathématiques analyse supérieur à l'Université de Stockholm et de 1911 jusqu'à 1927, il a été recteur de l'Université.

Bendixson a montré son talent exceptionnel pour les mathématiques dès le début de son élève jours et, comme il l'a progressé, ces talents sont devenus de plus en plus évidente. Il a également commencé à beaucoup comme un mathématicien pur mais plus tard dans sa carrière, il s'est également examiner les problèmes de mathématiques appliquées. Ses premiers travaux de recherche ont été mis sur la théorie et les fondements des mathématiques, à la suite des idées qui Cantor a mis en place. Il a contribué résultats importants mis au point la topologie.

Comme un jeune étudiant Bendixson s'est fait un nom en prouvant un théorème qui il a inclus dans une lettre qu'il écrivit à Cantor, la lettre publiée dans le volume 2 de l'Acta Mathematica. Ce théorème stipule:

... Ajouter tous les fermé puisse être partitionné en un ensemble parfait et un ensemble dénombrable.

Le parfait dans cette partition est, dans la terminologie d'aujourd'hui, le Bendixson dérivé de la série initiale. D'où la série est dérivée de Baire soit la classe 1 ou classe 2 de Baire. La preuve du théorème qui utilise Bendixson Cantor a donné l 'idée de transfinite numéros. Il a également donné une autre contribution importante à la théorie de la parfaite point sets quand il a donné un exemple parfait d'une série qui est totalement déconnecté.

Bendixson ont également fait des contributions intéressantes à l'algèbre quand il a enquêté sur le problème classique de la solution algébrique des équations. Abel a montré que l'équation générale de degré cinq n'ont pas pu être résolus par les radicaux, alors que Galois avait élaboré la théorie de Galois qui a déterminé les équations qui pourraient être résolus par des radicaux. Bendixson retourné à Abel 's contribution originale et Abel a montré que l' méthodes pourrait être étendu pour décrire précisément les équations qui pourraient être résolus par des radicaux. Abel lui-même avait écrit peu de temps avant sa mort, qu'il espère être en mesure d'atteindre cet objectif, et il est intéressant de noter que Bendixson a été en mesure de le faire Abel 's méthodes. Toutefois, sa raison d'entreprendre ce travail semble plus à voir avec le traitement de son groupe avec suspicion la théorie plutôt que de tenter de justifier l'approche Abel. Bendixson publié ces résultats dans Acta Mathematica et il convient de noter qu'il était prêt à accepter les nouvelles idées de théorie des ensembles, mais pas de théorie des groupes.

En fait Bendixson a été un fréquent contributeur au Acta Mathematica, la revue fondée par son collègue Mittag-Leffler. Bendixson est probablement mieux connu pour la Poincaré - Bendixson theorem. Nous allons dire un peu sur la façon dont Bendixson est venu de prouver ce résultat. Ce sont venus à cause de son travail en analyse réelle. Dans ce domaine, il a d'abord étudié la convergence uniforme d'une série de fonctions réelles et a pris une importante étape dans la mise en précise les conditions dans la limite de fonction continue fonctions est continu. Lors de l'examen périodique des solutions d'équations différentielles Bendixson utilisé des méthodes basées sur la poursuite des fractions. Ces méthodes ont d'abord été utilisés par Legendre de prouver que π et e sont irrationnelles.

Le problème qui analyse intrigué Bendixson plus de tous les autres a été l'enquête intégrante de courbes à équations différentielles du premier ordre, en particulier, il a été intrigué par la complexité du comportement de l'intégrale des courbes dans le voisinage de points singuliers. Cet important problème a été étudié par Briot et son ami Bouquet et, avant Bendixson travaillé sur elle, a récemment fait l'objet d'enquêtes par Poincaré. Poincaré avait obtenu une description qualitative de l'intégrale des courbes, mais il a été Bendixson qui a donné une description quantitative près de l'points singuliers.

Le Poincaré-Bendixson théorème qui dit un intégrante courbe qui ne se termine pas par un point singulier a un cycle limite, a d'abord été révélée par Poincaré, mais une preuve plus rigoureux avec les hypothèses les plus faibles a été donnée par Bendixson en 1901. Pour ce faire Bendixson utilisé des approximations successives. La réalisation de l'extrême difficulté du cas général, il s'est spécialisé sur le cas de réel intégrante courbes. Dans ce cas, il a été en mesure de donner des résultats précis dans le voisinage d'un point singulier, complètement résoudre les Briot et Bouquet problème. Garding écrit:

La plus grande partie de cette théorie a plus tard est entré dans les manuels, et de cette façon il a partagé le sort d'une grande partie des mathématiques, à savoir à se fondre dans une mathématique de plus en plus les connaissances générales où les auteurs ne sont pas mentionnés.

Bendixson est devenu davantage impliquées dans la politique que sa carrière progresse. Il était bien connu pour son doux de gauche points de vue et il met ses convictions en pratique la tête d'un comité chargé d'aider les étudiants pauvres. Il a siégé à de nombreux autres comités et il a été un conseiller à une commission qui a enquêté sur une représentation proportionnelle système de vote en Suède en 1912-13. A ce titre, il a été en mesure de faire usage de ses compétences en mathématiques est de conseiller le comité.

Zeilon écrit dans ce Bendixson:

... appartenaient à un groupe important de mathématiciens qui sont liés au développement de l'université nouvellement construit à Stockholm. Depuis 1882, il a été affilié à l'université, d'abord comme un élève, puis comme professeur.

Comme un enseignant Bendixson était toujours bien préparée. Il n'a pas seulement enseigné bien, mais il a également écrit bien:

L'élégance de style est particulièrement apparente dans son travail scientifique.

Pour sa contribution exceptionnelle, Bendixson reçu de nombreuses distinctions dont un doctorat honorifique le 24 Mai 1907.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland